Mathématique

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Algèbre

Sens et manipulation des expressions algébriques

Sens des liens de dépendance

Sens et manipulation des expressions algébriques  

L’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant.

L’élève le fait par lui-même à la fin de l’année scolaire.

 

L’élève réutilise cette connaissance.

Primaire

Secondaire
1er
cycle
2e
cycle
  1. Expressions algébriques
6e 1re 2e 3e 4e 5e
  1. Décrire, dans ses mots et à l’aide du langage mathématique, des régularités numériques
             
  1. Décrire, dans ses mots et à l’aide du langage mathématique, des suites de nombres et famille d’opérations
           
  1. Ajouter de nouveaux termes à une suite dont au moins les trois premiers termes sont donnés
           
  1. Décrire le rôle des composantes des expressions algébriques :
    1. inconnue
      Note : Ce concept, a été abordé sans qu'il soit nommé comme tel, au primaire, dans le contexte de la recherche d’un terme manquant.
       
    1. variable, constante
         
    1. paramètre
      Note : Le concept de paramètre est abordé, de façon intuitive, sans qu'il soit nommé comme tel, aux trois premières années du secondaire.
      CST
TS
  SN
    1. coefficient, degré, terme, terme constant, termes semblables
         
  1. Construire une expression algébrique à partir d’un registre (mode) de représentation
         
  1. Interpréter une expression algébrique selon le contexte
         
  1. Reconnaître ou construire des expressions algébriques équivalentes
         
  1. Reconnaître ou construire
 
    1. des égalités et des équations
       
    1. des inégalités et des inéquations
           
  1. Manipulation d’expressions algébriques
6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Calculer la valeur numérique d’expressions algébriques
         
  1. Effectuer les opérations suivantes sur des expressions algébriques avec ou sans l’aide de matériel concret ou imagé : addition et soustraction, multiplication et division par une constante, multiplication de monômes du premier degré
         
  1. Effectuer des mises en évidence simples d’expressions numériques (distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction)
         
  1. Multiplier
 
    1. des expressions algébriques de degré inférieur à 3
           
    1. des expressions algébriques
            CST
  TS
  SN
  1. Diviser
 
    1. des expressions algébriques par un monôme
           
    1. un polynôme par un binôme (avec ou sans reste)
            CST
  TS
    SN
    1. un polynôme par un autre polynôme (avec ou sans reste)
            CST
    TS
  SN
  1. Factoriser des polynômes à l’aide
 
    1. de mises en évidence simples
           
    1. de la mise en évidence double (polynômes incluant les trinômes du second degré décomposables)
            CST
  TS
  SN
    1. de la complétion du carré (factorisation et passage d’une forme d’écriture à l’autre)
            CST
  TS
  SN
    1. de formules pour les trinômes de la forme ax2 + bx + c :
      x1 =  et x2 =
            CST
  TS
  SN
    1. de la substitution d’identités algébriques du second degré (trinôme carré parfait et différence de deux carrés)
            CST
  TS
  SN
  1. Manipuler des expressions rationnelles
    Note : L’expression rationnelle (fraction algébrique) s’ajoute aux expressions algébriques à traiter. En TS, la recherche d’un dénominateur commun dans l’addition de deux expressions rationnelles se limite au cas où le dénominateur de l’une est un multiple de l’autre.
            CST
  TS
  SN
  1. Analyse de situations à l’aide d’équations ou d’inéquations
6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Reconnaître si une situation peut se traduire par
    1. une équation
         
    1. une inéquation
           
  1. Reconnaître ou construire
 
    1. des relations ou des formules
         
    1. des relations d’inégalité et des inéquations du premier degré à une variable
           
  1. Manipuler des relations ou des formules
    (ex. : isoler un élément)
         
  1. Représenter une situation à l’aide
    1. d’une équation du premier degré à une inconnue
         
    1. d’une inéquation du premier degré à une variable
           
  1. Représenter
    1. une équation à l’aide d’un autre registre (mode) de représentation, au besoin
         
    1. une inéquation à l’aide d’un autre registre (mode) de représentation, au besoin
           
  1. Déterminer le terme manquant dans une équation (relations entre les opérations)1 :
    a + b = □, a + □ = c, □ + b = c, ab = □, a – □ = c, □ – b = c,
    a × b = □, a × □ = c, □ × b = c, a ÷ b = □, a ÷ □ = c, □ ÷ b = c
           
  1. Transformer des égalités arithmétiques et des équations pour en conserver l’équivalence (propriétés et règles de transformation) et justifier les étapes suivies, au besoin
         
  1. Transformer des inégalités arithmétiques et des inéquations pour en conserver l’équivalence (propriétés et règles de transformation) et justifier les étapes suivies, au besoin
           
  1. Utiliser différentes méthodes pour résoudre des équations du premier degré à une inconnue se ramenant à la forme ax + b = cx + d : essais systématiques, dessins, méthodes arithmétiques (opérations inverses ou équivalentes), méthodes algébriques (méthodes de l’équilibre ou du terme caché)
         
  1. Résoudre des inéquations du premier degré à une variable
           
  1. Résoudre une équation ou une inéquation
    1. du second degré à une variable
      Note : En TS, l’évolution se fait sur deux ans à l’aide des modèles fonctionnels à l’étude.
            CST
TS
  SN
    1. exponentielle, logarithmique ou racine carrée à une variable en recourant aux propriétés des exposants, des logarithmes et des radicaux
      Note : En CST de 5e secondaire, l’élève recourt à la définition du logarithme et du changement de base lors de la résolution d’équation exponentielle ou logarithmique. Aussi, la résolution d’équation racine carrée et les propriétés des radicaux et des logarithmes ne sont pas à l’étude en CST. En TS, l’évolution se fait sur deux ans à l’aide des modèles fonctionnels à l’étude.
          CST
TS
  SN
    1. rationnelle à une variable
            CST
  TS
  SN
    1. avec valeur absolue à une variable
            CST
    TS
  SN
    1. trigonométrique du premier degré à une variable impliquant une expression contenant un sinus, un cosinus ou une tangente
            CST
  TS
    SN
    1. trigonométrique à une variable se ramenant à un sinus, à un cosinus ou à une tangente
            CST
    TS
  SN
  1. Résoudre une équation du second degré à deux variables
    Note : En TS, l’évolution se fait sur deux ans à l’aide des modèles fonctionnels à l’étude.
            CST
TS
  SN
  1. Valider une solution, avec ou sans outils technologiques, notamment par substitution
         
  1. Résoudre graphiquement et valider la région-solution d’une inéquation
    1. du premier degré à deux variables
           
    1. du second degré à deux variables
      Note : En TS, l’évolution se fait sur deux selon les modèles fonctionnels à l’étude.
            CST
TS
  SN
  1. Interpréter des solutions ou prendre des décisions au besoin, selon le contexte
         
  1. Analyse de situations à l’aide de systèmes d’équations ou d’inéquations
6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Déterminer si une situation peut se traduire par un système
    1. d’équations
           
    1. d’inéquations
           
  1. Traduire algébriquement ou graphiquement une situation à l’aide d’un système
    1. d’équations
           
    1. d’inéquations
           
  1. Résoudre un système d’équations
    1. du premier degré à deux variables de la forme ax b à l’aide de tables de valeurs, graphiquement ou algébriquement (par comparaison), et ce, avec ou sans outils technologiques
           
    1. du premier degré à deux variables
      Note : La méthode de résolution est choisie par l’élève.
           
    1. composé d’une équation du premier degré à deux variables et d’une équation du second degré à deux variables
      Note : En TS, la résolution de ces systèmes s’effectue à l’aide de représentations graphiques, avec ou sans outils technologiques.
            CST
  TS
  SN
    1. du second degré en relation avec les coniques en recourant au changement de variable, s’il y a lieu
            CST
    TS
  SN
    1. faisant intervenir divers modèles fonctionnels (résolution prioritairement graphique)
            CST
  TS
    SN
  1. Résoudre un système d’inéquations
 
    1. du premier degré à deux variables
           
    1. faisant intervenir divers modèles fonctionnels (résolution prioritairement graphique)
            CST
  TS
    SN
  1. Valider la solution avec ou sans outils technologiques
         
  1. Interpréter la solution ou prendre des décisions au besoin, selon le contexte
         
  1. Programmation linéaire
6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Analyser une situation à optimiser
    • Mathématisation de la situation à l’aide d’un système d’inéquations du premier degré à deux variables
    • Représentation graphique de la situation à l’aide d’un polygone de contraintes fermé ou non
    • Détermination des coordonnées des sommets du polygone de contraintes (région-solution)
      Note : En TS, la détermination des coordonnées des points d’intersection peut se faire algébriquement, à l’aide de matrices ou par approximation à partir de la représentation graphique.
    • Reconnaissance et définition de la fonction à optimiser
           
  1. Optimiser une situation en tenant compte de différentes contraintes et prendre des décisions au regard de cette situation
    • Détermination, à partir d’un ensemble de possibilités, de la ou des meilleures solutions pour une situation donnée
    • Validation et interprétation de la solution optimale selon le contexte
    • Justification du choix de la ou des solutions
    • Modification de certaines conditions de la situation pour la rendre plus efficiente, au besoin
           

Sens des liens de dépendance

1.  Cette notation symbolique n’a pas été présentée aux élèves du primaire. Ils ont par contre appris à déterminer la valeur du terme manquant, entre autres dans des situations qui font appel à différentes structures additives ou multiplicatives, et ce, en tenant compte des limites du programme de mathématique du primaire.

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